NÚMEROS PERFECTOS

NUMEROS PERFECTOS

   Un número perfecto es un número natural que equivale a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse al mismo. 

   De un modo más general es un número equivalente a la suma de sus partes divisibles.

  El 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios: 1, 2 y 3 suman 6, o sea: 1 + 2 + 3 = 6.

  El 28 es un número perfecto, porque sus divisores propios: 1, 2, 4, 7 y 14 suman 28, o sea: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. 

  El 496 es un número perfecto, porque sus divisores:  1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman 496, o sea 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.

  Otros números perfectos son: 8128,  33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …  .

  No se sabe el origen del estudio de los números perfectos, o sea cuando, donde y quien los trabajó por primera vez. 

  Pitágoras y sus discípulos, fueron parte de los que se interesaron por estos números, por tener propiedades místicas.

  Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene información sobre los números perfectos, provienen de los Elementos de Euclides, escritos alrededor del  año 300 a C.

  LOS CUATRO PRIMEROS NUMEROS PERFECTOS:  6, 28, 496 y 8129 fueron descubiertos por EUCLIDES DE ALEJANDRIA, empleando la formula:  2^n-1(2ⁿ-1) para (2ⁿ-1) primo.

 Veamos como salen esos números usando la fórmula de Euclides

1)      Para n = 2 :  2^2-1(2²-1) = 2¹(4-1) = 2(3) = 6

2)      Para n = 3 :  2^3-1(2³-1) = 2²(8-1) = 4(7) =28

3)      Para n = 5 :  2^5-1(2⁵-1) = 2⁴(32-1) = 16(31) = 496

4)      Para n = 7 :  2^7-1(2⁷-1) = 2⁶(128-1) = 64(127) = 8128

EL QUINTO NUMERO PERFECTO, lo descubrió HUDAL RICHUSREGIUS, con la misma fórmula de Euclides, veamos:

5)       para n = 13: 2^13-1(2¹³-1) = 4096(8191) = 33550336.

EL SEXTO NUMERO PERFECTO, fue calculado por CATALDI:

6)      Para n = 17:  2^17-1(2¹⁷-1) = 65536(131071) = 8589869056

EL SEPTIMO NUMERO PERFECTO LO CALCULO TAMBIEN CATALDI:

7)      Para n = 19:  2^19-1(2¹⁹-1) = 262144(524287) = 137438691328.

EL OCTAVO NÚMERO PERFECTO FUE CALCULADO POR EULER EN  1732:

8)      Para n = 31:  2^31-1(2³¹-1) = 2305843008139952128.

EL NOVENO NÚMERO PERFECTO ES OBRA DE PERVUSIN EN EL AÑO 1883:

9)      Para n = 61:  2^61-1(2⁶¹-1).

EL DECIMO NUMERO PERFECTO ES OBRA DE POWER EN EL AÑO 1911:

      10) Para n = 89:  2^89-1(2⁸⁹-1).

EL DÉCIMO PRIMER NÚMERO PERFECTO FUE DESCUBIERTO POR POWER EN 1911:

11)   Para n = 101.

 EL DÉCIMO SEGUNDO NÚMERO PERFECTO LO DESCUBRIÓ LUCAS PACCIOLI EN 1876:

12)    Para n = 127.

 EL DECIMOTERCER NÚMERO PERFECTO SE DESCUBRIÓ EN EL 2001:

13)   Para n = 13466917.

Estos números se pueden calcular sumando potencias de 2 hasta encontrar un numero primo y luego multiplicar por la ultima potencia encontrada.

 Veamos los siguientes:

1)       1 + 2 = (3)(2) = 6

2)      1 + 2 + 4 = (7)(4) A= 28

3)      1 + 2 + 4 + 8 + 16 = (31)(16) = 496

4)      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = (127)(64) = 8128

5)      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 4096 = (8191)(4096) = 33550336

6)      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + … + 32768 + 65536 = (131071)(65536) = 8589869056

7)      1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + … + 131072 + 262144 = (524287)(262144) = 137438691328

Y así sucesivamente. Se han descubierto hasta ahora 48 números perfectos.
Siendo el más reciente de casi 35 millones de cifras.

NICOMACO de GERASA alrededor del año 100 después de Cristo, trabajó la clasificación de los números, basándose en el concepto de los números perfectos.

 Así clasificó los números en tres grupos:

1)      Los números deficientes: la suma de sus partes divisibles es menor que el número.

2)      Los números superabundantes: la suma de sus partes divisibles es mayor que el número.

3)      Los números perfectos: la suma de sus partes divisibles es igual al número.

NICOMACO les da un valor moral a los números perfectos y dice que:

En el  caso de los demasiado grandes, se producen excesos, súper fluidez, exageraciones y abusos.

En el caso de los demasiado pequeños, se producen deseos, deficiencias, privaciones e insuficiencias.

En el caso de los que se encuentran entre los demasiado grandes y los demasiado pequeños, que es la igualdad, se produce virtud, mesura, decoro, belleza y cosas de ese estilo de las que el mejor ejemplo es el tipo de números llamados perfectos.

NICOMACO también les da una connotación biológica a esta clasificación y expresa:

Los superabundantes son como un animal con diez bocas, o nueve labios y tres líneas de dientes; o con cien brazos, o teniendo demasiado dedos en una de sus manos.

Los deficientes son comparados con animales con un solo ojo, un solo brazo o con manos con menos de cinco dedos, o a caso sin lengua.

Por otro lado NICOMACO les da una connotación religiosa a los números de su clasificación.

 En el caso de los perfectos dice:

6 es  el número de días que utilizó Dios para crear el mundo.

 Dios escogió el 6, porque es un número perfecto. 

Dios escogió el 28, porque lo consideró perfecto para el número de días que tarda la luna en darle vuelta a la tierra. 

Octavio Tolentino

Referencia:

Wikipedia
Vaxasofware.com
Polprimo.com
curiotecnology
Matematicascercanas
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