LA SUMATORIA ( ∑ )
Concepto
de sumatoria:
A menudo resulta difícil trabajar
con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como
sumandos.
Para facilitar este trabajo se ha
convenido representar la adición de los términos en forma abreviada, mediante
el signo S,
acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango
de valores que tomará la variable considerada en esa fórmula.
Se denota en los siguientges ejemplos usando la notación i:
El signo ∑ corresponde a la
letra mayúscula sigma, del alfabeto griego. ∑ equivale a S, de nuestro
alfabeto. ak es el término general de una sucesión, k es el índice
de la sumatoria, k=1 es el comienzo o límite inferior y k=n es el final o límite
superior de la suma, o sea la suma comienza con el natural 1 y termina con el
natural n, también puede empezar con otro natural diferente de 1.
Si nos dan la notación sigma o en forma
abreviada, podemos escribir la suma en forma desarrollada.
El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma, es un operador
matemático que permite representar sumas de muchos sumandos n, o incluso infinitos
sumandos.
Se expresa con la letra griega sigma ( ∑ ), y se define como:
Se expresa con la letra griega sigma ( ∑ ), y se define como:
Esto se lee:
«sumatorio sobre k, desde 1 hasta n,
de sub-k».
La variable k es
el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite
inferior, 1.
La variable k recorrerá
los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente debe cumplirse que: 1
Si se quiere expresar
la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:
También hay fórmulas
para calcular los sumatorios más rápido.
Por ejemplo, para sumar los primeros
mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se
puede usar una fórmula como esta:
Se debe notar que
aunque el término sumatorio se refiere a un operador
matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a
la palabra suma.
Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio
de dos y tres es cinco».
Por la misma razón, decir que se realizará, por
ejemplo, el sumatorio (o la sumatoria) de unos
votos, es notoriamente un disparate.
Los operadores de suma son útiles para
expresar sumas de forma analítica; ésto es, representar todos y cada uno de los
sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando.
Así, para representar
la fórmula para hallar la media
aritmética de n números,
se tiene la siguiente expresión:
SUMATORIAS ESPECIALES:
Algunas ecuaciones de
la operación de suma, son sumas especiales: Veamos
las principales:
Ejemlos:
Propiedades de las sumatorias:
Para un múltiplo constante
Sumatoria de una suma de términos
Referencia:
Wikipedia
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