FIBONACCI

FIBONACCI 

Leonardo de Pisa (FIBONACCI), vivió los años del 1175 al 1250 en Italia. 

Es una de las figuras más interesantes de la matemática italiana del siglo 13.

 Era hijo de un mercader llamado BONACCIO, el cual  ejercía funciones comerciales en el centro comercial de Pisa.

 Como BONACCIO fue enviado a Bujía, Arabia, Egipto, Siria, Grecia y Sicilia para gerenciar asuntos de empresas, FIBONACCI tuvo que hacer esos recorridos con su padre.

En estos viajes aprovechó el contacto con los matemáticos más notables de la época y descubrió y estudió a fondo los Elementos de Euclides y reconoció que los métodos de cálculo de los hindúes eran los mejores.

Estos métodos lo motivaron a escribir un libro de Aritmética y Algebra llamado LIBER ABACCI, que contiene la numeración posicional de los hindúes, además de la descomposición en factores primos, las operaciones elementales con enteros y con fracciones, problemas de geometría, y la resolución de ecuaciones cuadráticas entre otros temas.

El problema que llamó más la atención en ese libro, fue el de las parejas de conejos, que dice: ¿Cuántas parejas de conejos obtendremos al final de cada cierto año, si empezando con una pareja, cada pareja produce cada mes una nueva pareja que puede reproducirse al segundo mes de existencia?

 Este problema dio origen a la famosa SUCESION DE FIBONACCI, que representa un modelo de crecimiento poblacional, que se puede encontrar también en la naturaleza en diferentes manifestaciones.

Otro libro escrito por FIBONACCI se llama PRACTICA GEOMETRIA que contiene medidas y unidades de medida, la media proporcional, una demostración del teorema de Pitágoras, división de figuras, extracción de raíces cubicas entre otros temas.

Otros libros importantes de FIBONACCI son: FLOR DE SOLUCIONES DE CIERTAS CUESTIONES RELATIVAS AL NUMERO Y A LA GEOMETRIA y el LIBER QUADRATORUM o libro de los números cuadrados. 

Estos libros tratan de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e identidades

Vimos que FIBONACCI fue el matemático italiano que más sobresalió en el siglo 13.

 Su principal obra fue el LIBER ABACCI. En este libro se planteó un problema que llamó mucho la atención a todos los que lo leyeron; fue el problema de la cría de conejos.

FIBONACCI planteó el problema de la siguiente manera: Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja de conejos procrea una nueva pareja, que es fértil a partir de los dos meses. ¿Cuántos descendientes produce una pareja de conejos en un año?.

Veamos la solución a este problema de la siguiente manera:  Si colocamos una pareja adulta de conejos en un patio cerrado, y tomamos en cuenta que cada mes, a partir del segundo mes de vida, cada pareja da origen a una nueva pareja.

 Como la primera pareja tiene descendencia en el primer mes, se dobla el número de parejas y, en este mes, se tienen dos parejas de conejos.

De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes ya hay tres parejas.

De estas tres parejas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes  nacen dos parejas adicionales, y el número total de parejas de conejos es de cinco.

 En dicho mes, tres de estas cinco parejas tienen hijos y, en el cuarto mes, el número de parejas llega a ocho. Cinco de estas parejas producen cinco parejas mas, las cuales, junto con las ocho parejas ya existentes, hacen trece parejas en el quinto mes.

Cinco de estas parejas no tienen hijos en ese mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen veintiuna parejas de conejos.

Si sumamos a estas, las trece parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34 parejas.

Si sumamos a estas, las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total de parejas es 55.

 Sumando a estas 55 parejas, las 34 parejas que nacen en el noveno mes, tendremos 89 parejas.

Agregando a esta 89 parejas, las 55 parejas que nacen en el decimo mes, la suma es de 144 parejas.

Si a estas 144 parejas le agregamos las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233 parejas.

 Finalmente, sumando a estas 233 parejas, las 144 parejas que nacen en el mes 12, se obtiene un total de 377 parejas.

 Es decir que al año ya hay un total de 377 parejas de conejos. 

Veamos el siguiente diagrama ilustrativo:  

El gran matemático italiano Leonardo de Pisa llamado FIBONACCI  o CABEZA DE PIEDRA, creó una famosa sucesión llamada SUCESION DE FIBONACCI de la siguiente manera: dada la sucesión de números ordenados en forma ascendente 1,1,2, 3,5,8,13,21, 34,55,89,144,253,377,… la cual se construye siguiendo el modelo dado por u_1, u_2,…, u_n donde cada término a partir del tercero, se consigue con la fórmula: U_n = U_n-1 + U_n-2. o sea sumando los dos anteriores a él.

Esta sucesión de números se llama SUCESION DE FIBONACCI. Los elementos de esta sucesión se llaman números de fibonacci.

 Se nota en esta sucesión que los dos primeros términos U₁ y U₂ son iguales a 1.

Esta sucesión cumple muchas propiedades de la matemática, veamos algunas de ellas:

1) La razón o cociente entre cada término y el inmediato anterior, varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo Ф. El número áureo Ф = 1.61805...

 2) Cualquier número natural se puede escribir como la suma de un número limitado de términos de la sucesión de FIBONACCI.

Veamos algunos ejemplos:  17 = 1+3+13, 20 = 2+5+13, 65 = 2+8+55.

3) Un término después de cada tres es par: 2, 8, 34, 144, …, uno de cada cuatro es múltiplo de 3: 3, 21, 144, …, uno de cada cinco es múltiplo de 5: 5, 55, 630, …, uno de cada seis es múltiplo de 4: 8, 144, ….

4) Cada término de la sucesión es promedio entre el número que se encuentra dos posiciones antes  y el que se encuentra una posición después del número dado:

     

Veamos algunos ejemplos: 8 =(3+13)/2  ,  13 =  (13+21)/2  , 144 =  (55+253)/2.

5) La sucesión se puede escribir con la forma de Binet:

 .

6) La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos 1.

Es decir: f₀ + f₁ + f₂  + … + f_n = f_n+2 – 1

Veamos ejemplos: 1 + 1 + 2 + 3 = 8 – 1,  1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 21 – 1

7) Si sumamos diez términos de la sucesión y lo dividimos por 11, el resultado siempre será el valor del séptimo término en ese orden. Veamos: (1+1+2+3+5+8+13+21+34+55)/11 = 13

La SUCESION DE FIBONACCI: 1,1,2,3,5,8,13,21,…, se aplica en muchos casos. Veamos algunas aplicaciones de esta divertida sucesión:

I) En la naturaleza: PLANTAS Y ANIMALES.-

a)  En las plantas, los botánicos han determinado que todas las plantas cuyos pétalos o tallos tienen forma de espiral, se conforman según los números de FIBONACCI. 

La piña, por ejemplo, tiene en el número de escamas, números de FIBONACCI, es decir tienen coincidencia en dos números: 5 y 8,  8 y 13, 13 y 21. 

La margarita presenta semillas en forma de 21 y 34 espirales. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro sentido, o tienen 89 en un sentido y 144 en el otro sentido.

b)  En los animales, los biólogos han observado que algunos animales presentan formas de espirales, como la concha de nautilus en algunos animales marinos. 

La crianza de conejos, vimos que sigue la sucesión de FIBONACCI.

II) En la matemática y en la astronomía.-

a) Para los astrónomos, las relaciones de los planetas en el sistema solar, incluyendo la vía látea, son descritas  por los números de FIBONACCI.  

b)El rectángulo áureo tiene dimensiones 1 y 1, 1 y 2, 2 y 3, 3 y 5, 5 y 8, y sigue …, que son parejas de números de FIBONACCI.  

Ejemplos de medidas con números de FIBONACCI, tenemos en la cédula, en la tarjeta de crédito, en la cajetilla de fósforos, en la de cigarrillo, en los carnets, entre otros.

c)   Las medias proporcionales y la sección áurea son aplicaciones de la sucesión de FIBONACCI.

 Por ejemplo en el siguiente segmento AB tenemos que los segmentos AB y AC son proporcionales en la relación  AB/AC= AC/CB donde AC² = AB.CB, siendo AC = a la raiz cuadrada de AB.CB , la razón áurea que se aproxima  a la constante 0.618305… .

III) En la Física: LAMINAS PLASTICAS O DE VIDRIO.-

Si colocamos dos laminas plásticas o de vidrio en contacto y hacemos que los rayos luminosos atraviesen, algunos rayos se reflejan y otros no se reflejan. 

Los rayos que se reflejan una vez, tienen dos trayectorias, los rayos que se reflejan dos veces, tienen tres trayectorias; los rayos que se reflejan tres veces, tienen cinco trayectorias y asi sucesivamente, siguiendo parejas de números de FIBONACCI.


Refererencia:
Wikipedia
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