FIBONACCI
Leonardo de
Pisa (FIBONACCI), vivió los años del 1175 al 1250 en Italia.
Es una de las
figuras más interesantes de la matemática italiana del siglo 13.
Era hijo de un
mercader llamado BONACCIO, el cual
ejercía funciones comerciales en el centro comercial de Pisa.
Como
BONACCIO fue enviado a Bujía, Arabia, Egipto, Siria, Grecia y Sicilia para
gerenciar asuntos de empresas, FIBONACCI tuvo que hacer esos recorridos con su
padre.
En estos
viajes aprovechó el contacto con los matemáticos más notables de la época y
descubrió y estudió a fondo los Elementos de Euclides y reconoció que los
métodos de cálculo de los hindúes eran los mejores.
Estos
métodos lo motivaron a escribir un libro de Aritmética y Algebra llamado LIBER
ABACCI, que contiene la numeración posicional de los hindúes, además de la
descomposición en factores primos, las operaciones elementales con enteros y
con fracciones, problemas de geometría, y la resolución de ecuaciones
cuadráticas entre otros temas.
El problema
que llamó más la atención en ese libro, fue el de las parejas de conejos, que
dice: ¿Cuántas parejas de conejos obtendremos al final de cada cierto año, si empezando
con una pareja, cada pareja produce cada mes una nueva pareja que puede
reproducirse al segundo mes de existencia?
Este problema dio origen a la famosa SUCESION
DE FIBONACCI, que representa un modelo de crecimiento poblacional, que se puede
encontrar también en la naturaleza en diferentes manifestaciones.
Otro libro
escrito por FIBONACCI se llama PRACTICA GEOMETRIA que contiene medidas y
unidades de medida, la media proporcional, una demostración del teorema de Pitágoras,
división de figuras, extracción de raíces cubicas entre otros temas.
Otros libros importantes de FIBONACCI son: FLOR DE
SOLUCIONES DE CIERTAS CUESTIONES RELATIVAS AL NUMERO Y A LA GEOMETRIA y el
LIBER QUADRATORUM o libro de los números cuadrados.
Estos libros tratan de ecuaciones,
sistemas de ecuaciones e identidades
Vimos que
FIBONACCI fue el matemático italiano que más sobresalió en el siglo 13.
Su
principal obra fue el LIBER ABACCI. En este libro se planteó un problema que
llamó mucho la atención a todos los que lo leyeron; fue el problema de la cría
de conejos.
FIBONACCI
planteó el problema de la siguiente manera: Suponga que la vida de los conejos
es eterna y que cada mes una pareja de conejos procrea una nueva pareja, que es
fértil a partir de los dos meses. ¿Cuántos descendientes produce una pareja de
conejos en un año?.
Veamos la
solución a este problema de la siguiente manera: Si colocamos una pareja adulta de conejos en
un patio cerrado, y tomamos en cuenta que cada mes, a partir del segundo mes de
vida, cada pareja da origen a una nueva pareja.
Como la primera pareja tiene descendencia en el
primer mes, se dobla el número de parejas y, en este mes, se tienen dos parejas
de conejos.
De éstas,
una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de
manera que en el segundo mes ya hay tres parejas.
De estas
tres parejas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que
en el tercer mes nacen dos parejas
adicionales, y el número total de parejas de conejos es de cinco.
En dicho mes, tres de estas cinco parejas
tienen hijos y, en el cuarto mes, el número de parejas llega a ocho. Cinco de
estas parejas producen cinco parejas mas, las cuales, junto con las ocho
parejas ya existentes, hacen trece parejas en el quinto mes.
Cinco de
estas parejas no tienen hijos en ese mes, mientras que las restantes ocho
parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen veintiuna
parejas de conejos.
Si sumamos a
estas, las trece parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34
parejas.
Si sumamos a
estas, las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total de parejas es 55.
Sumando a estas 55 parejas, las 34 parejas que
nacen en el noveno mes, tendremos 89 parejas.
Agregando a
esta 89 parejas, las 55 parejas que nacen en el decimo mes, la suma es de 144
parejas.
Si a estas
144 parejas le agregamos las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega
a un total de 233 parejas.
Finalmente, sumando a estas 233 parejas, las
144 parejas que nacen en el mes 12, se obtiene un total de 377 parejas.
Es decir
que al año ya hay un total de 377 parejas de conejos.
Veamos el
siguiente diagrama ilustrativo:
El gran matemático italiano Leonardo de Pisa llamado
FIBONACCI o CABEZA DE PIEDRA, creó una
famosa sucesión llamada SUCESION DE FIBONACCI de la siguiente manera: dada la
sucesión de números ordenados en forma ascendente 1,1,2, 3,5,8,13,21,
34,55,89,144,253,377,… la cual se construye siguiendo el modelo dado por u1,
u2,…, un donde cada término a partir del tercero,
se consigue con la fórmula: Un = Un-1 + Un-2. o sea sumando los dos anteriores a él.
Esta sucesión de números se llama SUCESION DE FIBONACCI. Los elementos de esta sucesión se llaman números de fibonacci.
Se nota en esta sucesión
que los dos primeros términos U1 y U2 son iguales a 1.
Esta sucesión cumple muchas propiedades de la matemática,
veamos algunas de ellas:
1) La razón o cociente entre cada término y el inmediato
anterior, varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo Ф. El número
áureo Ф = 1.61805...
2) Cualquier número natural se puede escribir como la
suma de un número limitado de términos de la sucesión de FIBONACCI.
Veamos algunos ejemplos:
17 = 1+3+13, 20 = 2+5+13, 65 = 2+8+55.
3) Un término
después de cada tres es par: 2, 8, 34, 144, …, uno de cada cuatro es múltiplo
de 3: 3, 21, 144, …, uno de cada cinco es múltiplo de 5: 5, 55, 630, …, uno de
cada seis es múltiplo de 4: 8, 144, ….
4) Cada término de
la sucesión es promedio entre el número que se encuentra dos posiciones
antes y el que se encuentra una posición
después del número dado:
Veamos algunos
ejemplos: 8 =(3+13)/2
, 13 = (13+21)/2 , 144 =
(55+253)/2.
5) La sucesión se puede escribir con la forma de Binet:
.
6) La suma de los n primeros
números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos 1.
Es decir: f0
+ f1 + f2 + … + fn
= fn+2 – 1
Veamos ejemplos: 1 + 1
+ 2 + 3 = 8 – 1, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 =
21 – 1
7) Si sumamos diez términos de la sucesión y lo dividimos por 11,
el resultado siempre será el valor del séptimo término en ese orden. Veamos: (1+1+2+3+5+8+13+21+34+55)/11 = 13
La SUCESION
DE FIBONACCI: 1,1,2,3,5,8,13,21,…, se aplica en muchos casos. Veamos algunas
aplicaciones de esta divertida sucesión:
I) En
la naturaleza: PLANTAS Y ANIMALES.-
a) En las plantas, los botánicos han
determinado que todas las plantas cuyos pétalos o tallos tienen forma de
espiral, se conforman según los números de FIBONACCI.
La piña, por ejemplo,
tiene en el número de escamas, números de FIBONACCI, es decir tienen
coincidencia en dos números: 5 y 8, 8 y
13, 13 y 21.
La margarita presenta semillas en forma de 21 y 34 espirales. Los
girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro sentido, o tienen 89
en un sentido y 144 en el otro sentido.
b) En los animales, los biólogos han observado
que algunos animales presentan formas de espirales, como la concha de
nautilus en algunos animales marinos.
La
crianza de conejos, vimos que sigue la sucesión de FIBONACCI.
II) En
la matemática y en la astronomía.-
a) Para los astrónomos, las
relaciones de los planetas en el sistema solar, incluyendo la vía látea, son
descritas por los números de FIBONACCI.
b)El rectángulo áureo tiene dimensiones 1 y 1, 1 y 2, 2 y 3,
3 y 5, 5 y 8, y sigue …, que son parejas de números de FIBONACCI.
Ejemplos de
medidas con números de FIBONACCI, tenemos en la cédula, en la tarjeta de
crédito, en la cajetilla de fósforos, en la de cigarrillo, en los carnets,
entre otros.
c) Las medias proporcionales y la
sección áurea son aplicaciones de la sucesión de FIBONACCI.
Por ejemplo en el
siguiente segmento AB tenemos que los segmentos AB y AC son proporcionales en
la relación AB/AC= AC/CB donde AC2 = AB.CB, siendo AC = a la raiz cuadrada de AB.CB , la razón áurea que se aproxima a la constante
0.618305… .
III) En
la Física: LAMINAS PLASTICAS O DE VIDRIO.-
Si colocamos dos laminas
plásticas o de vidrio en contacto y hacemos que los rayos luminosos atraviesen,
algunos rayos se reflejan y otros no se reflejan.
Los rayos que se reflejan una
vez, tienen dos trayectorias, los rayos que se reflejan dos veces, tienen tres
trayectorias; los rayos que se reflejan tres veces, tienen cinco trayectorias y
asi sucesivamente, siguiendo parejas de números de FIBONACCI.
Refererencia:
Wikipedia
Explainers
Wolfram
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