VALOR ABSOLUTO

  EL VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o neativo. Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. 

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos, cuerpos y espacios vectoriales.

El valor absoluto se define en cualquiera de los sistemas numéricos, de los números enteros, racionales, reales como:

• |a| = a si a ≥ 0

• |a| = -a si a ‹ a

Por definición, el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que  0 y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. 

En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. 

De hecho, el concepto de función, distancia o métrica en matemática se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta real.

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Veamos algunos ejemplos:

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2) (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5 

2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10 

3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7 

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

Valor absoluto quiere decir...

... simplemente qué distancia hay de un número a cero:

/6/: "6" está a 6 de cero, y /-6/:  "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6

Más ejemplos:

• El valor absoluto de -9 es 9
• El valor absoluto de 3 es 3
• El valor absoluto de -156 es 156

¡No negativos!

Así que en la práctica el "valor absoluto" significa quitar el signo negativo de delante de un número, y pensar en todos los números como números positivos.

Símbolo de valor absoluto

Para indicar el valor absoluto de algo, pones símbolos " |" a los lados, como en estos ejemplos:

|-5| = 5

|7| = 7

Restar de las dos maneras

No importa en qué orden hagas una resta, su valor absoluto siempre será el mismo:

|8-3| = 5	|3-8| = 5
(8-3 = 5)	(3-8 = -5, y |-5| = 5)

 Ecuaciones con valor absoluto

.Resolviendo  las ecuaciones:

1)      |x − 3| = 5

deberíamos considerar las dos posibilidades de signo.

 Es decir hay dos alternativas:

x − 3 = 5

o bien

x − 3 = −5 

La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuación, tenemos que

x = 8 o bien x = −2

Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5


2)      |x − 4| = 3

Hay dos posibilidades: x − 4 = 3  o bien x − 4 = −3.

Las soluciones de ellas son 7 y 1.

Veamos:

x − 4 = 3

x = 3 + 4

x = 7

o bien

x − 4 = −3

x = −3 + 4

x = 1


3)      3 |5 − 4x| = 9

Veamos:

Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta

 en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la 

ecuación:

De esta manera la ecuación dada es equivalente a:

|5 − 4x| = 3

Ahora,  esta ecuación en valor absoluto es equivalente a

5 − 4x = 3    o bien   5 − 4x = −3

 

Despejando x:

Si 5 − 4x = 3

−4x = 3 − 5

−4x = −2

4x = 2

Si 5 − 4x = −3

−4x = −3 − 5

−4x = −8    /−1

4x = 8

Las soluciones para la ecuación primitiva son 0.5 y 2.